Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A=\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}\)

Answer 1

ta có : \(A=\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}\)

\(=\sqrt{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}-x\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}\)

áp dụng bđt Mincopski ta có :

\(A\ge\sqrt{\left(x+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-x\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=2\)

dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{x+\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}-x}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=1\) \(\Leftrightarrow x=0\)

vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) là \(2\) khi \(x=0\)