\(A=\frac{x+7}{\sqrt{x}-3}\)
\(\Leftrightarrow A\left(\sqrt{x}-3\right)=x+7\)
\(\Leftrightarrow x-\sqrt{x}\cdot A+3A+7=0\)
Để phương trình có nghiệm thì:
\(\Delta=A^2-4\left(3A+7\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow A^2-12A-28\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(A-6\right)^2-64\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(A-6\right)^2\ge64\)
\(\Leftrightarrow A-6\ge8\)
\(\Leftrightarrow A\ge14\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=49\)
\(A=\frac{x+7}{\sqrt{x}-3}\) \(\left(x>9\right)\)
Ta có: \(A=\frac{x+7}{\sqrt{x}-3}=\frac{x-9+16}{\sqrt{x}-3}=\frac{x^2-3^2}{\sqrt{x}-3}+\frac{16}{\sqrt{x}-3}=\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x}-3}+\frac{16}{\sqrt{x}-3}=\sqrt{x}+3+\frac{16}{\sqrt{x}-3}\)
\(=\sqrt{x}-3+\frac{16}{\sqrt{x}-3}+6\)
Vì \(x>9\) nên \(\sqrt{x}-3>0\) và \(\frac{16}{\sqrt{x}-3}>0\)
Áp dụng BĐT AM-GM vào 2 số trên, ta có:
\(\sqrt{x}-3+\frac{16}{\sqrt{x}-3}\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}-3\right)\cdot\frac{16}{\sqrt{x}-3}}=2\sqrt{16}=2\cdot4=8\) \(\forall x>9\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}-3+\frac{16}{\sqrt{x}-3}+6\ge8+6\) \(\forall x>9\)
\(\Rightarrow A\ge14\) \(\forall x>9\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{x}-3=\frac{16}{\sqrt{x}-3}\Rightarrow\left(\sqrt{x}-3\right)^2=16\Leftrightarrow\sqrt{x}-3=4\) (vì \(\sqrt{x}-3>0\))
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=7\Leftrightarrow x=49\) (tmđk)
Vậy \(A_{min}=14\) khi \(x=49\).
?Amanda?Nguyễn Ngọc Lộc Vũ Minh TuấnThiện NguyễnTrần Quốc KhanhTú NhânNguyễn Trúc Giangtrinh gia long Hoàng Thị Ánh Phương Nguyễn Thành TrươngTrần Quốc KhanhTrên con đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếngTrần Thanh Phương@tth_new@Nguyễn Việt Lâm
