Bạn xem lại đề. Mình thấy $x\in (0; \frac{\pi}{4}]$ thì hợp lý hơn @_@
Nếu miền giá trị của x có "chạm" vào \(\frac{\pi}{4}\) thì:
\(y^2=\left(a.1+b.\sqrt{sinx}+c.\sqrt{cosx}\right)^2\)
\(\Rightarrow y^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(1+sinx+cosx\right)\)
\(\Rightarrow y^2\le3\left[1+\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right]\le3\left(1+\sqrt{2}\right)\)
\(\Rightarrow y\le\sqrt{3+3\sqrt{2}}\)
\(M=\sqrt{3+3\sqrt{2}}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}\\b=c=\sqrt{\frac{6-3\sqrt{2}}{2}}\\a=\sqrt{3\sqrt{2}-3}\end{matrix}\right.\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(y^2=(a+b\sqrt{\sin x}+c\sqrt{\cos x})^2\leq (a^2+b^2+c^2)(1+\sin x+\cos x)=3(1+\sin x+\cos x)\)
$(\sin x+\cos x)^2=\sin ^2x+\cos ^2x+2\sin x\cos x=1+\sin 2x\leq 1+1=2$ với mọi $x\in (0;\frac{\pi}{4}]$
$\Rightarrow \sin x+\cos x\leq \sqrt{2}$
$\Rightarrow 1+\sin x+\cos x\leq \sqrt{2}+1$
Do đó: $y^2\leq 3(1+\sqrt{2})$
$\Rightarrow y\leq \sqrt{3+3\sqrt{2}}$
Vậy $M=\sqrt{3+3\sqrt{2}}$
