Question

Tìm điều kiện của a, b, c thuộc Q để: \(ax^{19}+bx^{94}+cx^{1994}⋮x^2+x+1\)

Answer 1

Lời giải:

$ax^{19}+bx^{94}+cx^{1994}=a(x^{19}-x)+b(x^{94}-x)+c(x^{1994}-x^2)+ax+bx+cx^2$

$=ax(x^{18}-1)+bx(x^{93}-1)+cx^2(x^{1992}-1)+c(x^2+x+1)-cx-c+ax+bx$

Dễ thấy:

$x^{18}-1\vdots x^3-1\vdots x^2+x+1$

$x^{93}-1\vdots x^3-1\vdots x^2+x+1$

$x^{1992}-1\vdots x^3-1\vdots x^2+x+1$

Do đó $-cx-c+ax+bx=x(a+b-c)-c$ chính là đa thức dư khi thực hiện phép chia.

Để phép chia là chia hết thì $x(a+b-c)-c=0$ với mọi $x$

$\Leftrightarrow a+b-c=0$ và $c=0$

$\Leftrightarrow a+b=c=0$