Question

Tìm đa thức f(x) biết thỏa mãn các điều kiện sau:

a) f(x) chia cho (x-2) dư 5.

b) f(x) chia cho (x-3) dư 7.

c) f(x) chia (x-2)(x-3) được thương là x²-1 và còn dư.

Answer 1

Lời giải:

Theo ý c, số dư khi chia đa thức $f(x)$ cho $(x-2)(x-3)$ sẽ không vượt quá bậc 2. Do đó số dư có dạng \(ax+b\)

Đặt \(f(x)=(x-2)(x-3)(x^2-1)+ax+b\) (*)

Theo định lý Bezout về số dư đa thức, số dư của $f(x)$ khi chia cho $x-2$ và $x-3$ là \(f(2); f(3)\)

Do đó: \(f(2)=5; f(3)=7\)

Thay vào (*) ta có:

\(\left\{\begin{matrix} f(2)=0+2a+b=5\\ f(3)=0+3a+b=7\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=2\\ b=1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(f(x)=(x-2)(x-3)(x^2-1)+2x+1\)

\(\Leftrightarrow f(x)=x^4-5x^3+5x^2+7x-5\)