Ta có: \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\Rightarrow x^2-xy+y^2\ge2xy-xy=xy\)
\(\Rightarrow x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+1\ge xy\left(x+y\right)+xyz=xy\left(x+y+z\right)\left(xyz=1\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x^3+y^3+1}\le\dfrac{1}{xy\left(x+y+z\right)}\). Tương tự ta cũng có:
\(\dfrac{1}{y^3+z^3+1}\le\dfrac{1}{yz\left(x+y+z\right)};\dfrac{1}{z^3+x^3+1}\le\dfrac{1}{xz\left(x+y+z\right)}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\le\dfrac{1}{x+y+z}\cdot\dfrac{x+y+z}{xyz}=\dfrac{1}{xyz}=1=VP\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Vậy các số dương \(x,y,z\) thỏa mãn là \(x=y=z=1\)
