Lời giải:
a)
Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên trung tuyến $AM$ đồng thời là đường cao. Do đó \(AM\perp BC\)
Xét tứ giác $AMNE$ có: \(\widehat{AME}=90^0=\widehat{ANE}\) và cùng nhìn cạnh $AE$ nên $AMNE$ là tứ giác nội tiếp.
Xét tứ giác $CMFN$ có tổng hai góc đối nhau \(\widehat{CMF}+\widehat{CNF}=90^0+90^0=180^0\) nên $CMFN$ là tứ giác nội tiếp.
* Xác định tâm.
Sử dụng tính chất: Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông thì bằng một nửa cạnh huyền.
Gọi $I$ là trung điểm của $AE$.
Xét tam giác $AME$ vuông tại $M$ có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền là $MI$ nên \(MI=\frac{AE}{2}=AI=EI\)
Xét tam giác $ANE$ vuông tại $N$ có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền là $NI$ nên \(NI=\frac{AE}{2}=AI=EI\)
Do đó: \(MI=NI=AI=EI\) nên $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $AMNE$.
Hoàn toàn tương tự, gọi $T$ là trung điểm $CF$ thì $T$ cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $CMFN$
b)
Ta có:
\(\widehat{AEB}=90^0-\widehat{ABE}=90^0-\widehat{ABC}\)
\(\widehat{FEB}=90^0-\widehat{EFM}=90^0-\widehat{ACB}\) ( tứ giác $CMFN$ nội tiếp nên \(\widehat{EFM}=\widehat{ACB}\))
Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (do tam giác $ABC$ cân tại $A$)
\(\Rightarrow \widehat{AEB}=\widehat{FEB}\). Suy ra $EB$ là phân giác góc $\widehat{AEF}$
c) Xét tam giác $AEF$ có $EM$ vừa là đường cao, vừa là đường phân giác (phần b) nên $AEF$ là tam giác cân tại $E$
\(\Rightarrow EM\) đồng thời cũng là đường trung tuyến. Do đó $M$ là trung điểm của $AF$
Xét tam giác $ANF$ vuông tại $N$ có trung tuyến $NM$ ứng với cạnh huyền nên \(NM=\frac{AF}{2}=AM=MF\)
Suy ra $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFN$
