Question

\(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos x}}}\)=\(\cos\frac{x}{n}\) 0<x<\(\frac{\Pi}{2}\)

với giá trị nào của n thì đẳng thức sau luôn đúng

Answer 1

\(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cosx=\frac{1}{2}\left(1+cosx\right)=\frac{1}{2}\left(1+2cos^2\frac{x}{2}-1\right)=cos^2\frac{x}{2}\)

Do \(0< x< \frac{\pi}{2}\Rightarrow cos\frac{x}{k}>0\) \(\forall k\) nguyên dương

\(\Rightarrow A=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cosx}}}\)

\(A=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos\frac{x}{2}}}\)

\(A=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos\frac{x}{4}}\)

\(A=cos\frac{x}{8}\)

\(\Rightarrow\) Với \(n=\pm8\) thì đẳng thức luôn đúng