§1. Bất đẳng thức

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Tuấn Phạm Minh

\(\sqrt{\dfrac{2}{a}}\) + \(\sqrt{\dfrac{2}{b}}\) + \(\sqrt{\dfrac{2}{c}}\) \(\le\) \(\sqrt{\dfrac{a+b}{ab}}\) \(\sqrt{\dfrac{b+c}{bc}}\) + \(\sqrt{\dfrac{c+a}{ca}}\) với a,b,c>0. c/m hộ m với

Lightning Farron
3 tháng 2 2018 lúc 18:13

Ta luôn có \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}}-\dfrac{1}{\sqrt{b}}\right)^2\ge0\forall a;b\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\)

\(\Leftrightarrow2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge\dfrac{2}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(a+b\right)}{ab}\ge\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{2\left(a+b\right)}{ab}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

\(\sqrt{2}\left(\sqrt{\dfrac{a+b}{ab}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{bc}}+\sqrt{\dfrac{a+c}{ac}}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}+\dfrac{1}{\sqrt{c}}\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{a+b}{ab}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{bc}}+\sqrt{\dfrac{a+c}{ac}}\ge\sqrt{\dfrac{2}{a}}+\sqrt{\dfrac{2}{b}}+\sqrt{\dfrac{2}{c}}\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c\)


Các câu hỏi tương tự
đấng ys
Xem chi tiết
Đức Huy ABC
Xem chi tiết
Huy Hoàng
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Phạm Kim Oanh
Xem chi tiết
đấng ys
Xem chi tiết
michelle holder
Xem chi tiết
Lưu Thị Thảo Ly
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Duyên
Xem chi tiết