Lời giải:
Yêu cầu đề bài chắc là rút gọn.
Đặt \(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}=a; \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=b\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^3+b^3=4\\ ab=\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}=\sqrt[3]{2^2-5}=-1\\ x=a+b=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\((a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\)
\(\Leftrightarrow x^3=4+3x(-1)\)
\(\Leftrightarrow x^3+3x-4=0\)
\(\Leftrightarrow (x^2+x+4)(x-1)=0\)
Dễ thấy $x^2+x+4>0$ nên $x-1=0\Rightarrow x=1$
Vậy $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=x=1$
Lời giải:
Yêu cầu đề bài chắc là rút gọn.
Đặt \(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}=a; \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=b\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^3+b^3=4\\ ab=\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}=\sqrt[3]{2^2-5}=-1\\ x=a+b=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\((a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\)
\(\Leftrightarrow x^3=4+3x(-1)\)
\(\Leftrightarrow x^3+3x-4=0\)
\(\Leftrightarrow (x^2+x+4)(x-1)=0\)
Dễ thấy $x^2+x+4>0$ nên $x-1=0\Rightarrow x=1$
Vậy $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=x=1$
