\(\frac{a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)}{a^4\left(b^2-c^2\right)+b^4\left(c^2-a^2\right)+c^4\left(a^2-b^2\right)}=\frac{a^2\left(b-c\right)+b^2c-b^2a+c^2a-c^2b}{a^4\left(b^2-c^2\right)+b^4c^2-b^4a^2+c^4a^2-c^4b^2}\)
\(=\frac{a^2\left(b-c\right)+bc\left(b-c\right)-a\left(b^2-c^2\right)}{a^4\left(b^2-c^2\right)+b^2c^2\left(b^2-c^2\right)-a^2\left(b^4-c^4\right)}=\frac{\left(b-c\right)\left[a^2+bc-a\left(b+c\right)\right]}{\left(b^2-c^2\right)\left[a^4+b^2c^2-a^2\left(b^2+c^2\right)\right]}\)
\(=\frac{\left(b-c\right)\left(a^2-ab+bc-ac\right)}{\left(b^2-c^2\right)\left(a^4+b^2c^2-a^2b^2-a^2c^2\right)}=\frac{a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)}{\left(b+c\right)\left[a^2\left(a^2-b^2\right)-c^2\left(a^2-b^2\right)\right]}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}{\left(b+c\right)\left(a^2-b^2\right)\left(a^2-c^2\right)}=\frac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
