#Quiz.
1/Cho (O) đường kính AB=2R gọi CO=CA qua C kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt đường tròn đó tại 2 điểm phân biệt M và N trên cung nhỏ BM lấy điểm K .Trên tia KN lấy K sao cho KI=KM.Gọi H là giao điểm của AK và MN chứng minh rằng
1) tứ giác BCHK nội tiếp
2) AK.AH=R2
3) NI=BK
2/ Cho đường tròn (O; R) và đường tròn (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Trên tia đối của tia AB lấy điểm c. Kẻ tiếp tuyến CD, CE với đường tròn (O;R), trong đó D, E là các tiếp điểm và E nằm ttrong đường tròn (O’;R’). Đường thẳng AD, AE cắt đường tròn (O’;R’) lần lượt tại M và N (M, N khác A). Tia DE cắt MN Tại I.
a. BEIN nội tiếp
b.Tam giác MIB đồng dạng với tam giác AEB.
c. O'I vuông góc với MN.
Bài 1: 7 GP
Bài 2: Làm đc a,b : 10 SP.
a,b,c: 15 GP.
1) Bạn có một số chỗ chưa viết rõ đề bài lắm, dễ gây nhầm nên mình sửa lại:
"Cho (O), đường kính AB=2R. Gọi C là trung điểm của OA. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với OA, cắt đường tròn đó tại 2 điểm phân biệt M và N. Trên cung nhỏ BM lấy điểm K (K khác B và M).Trên tia KN lấy điểm I sao cho KI=KM.Gọi H là giao điểm của AK và MN."
Lời giải:
a) Góc AKB là góc nội tiếp đường tròn (O) nên \(\widehat{AKB}=90^o\)
Mặt khác, \(\widehat{BCH}=90^o\) (do \(AB\perp MN\) tại C)
Tứ giác BCHK có 2 góc đối \(\widehat{AKB}\) và \(\widehat{BCH}\) có tổng số đo góc là 180o nên tứ giác BCHK nội tiếp (điều phải chứng minh).
b) \(AB=2R\Rightarrow OA=OB=\frac{1}{2}AB=R\)
C là trung điểm OA \(\Rightarrow AC=\frac{OA}{2}=\frac{R}{2}\)
Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta ABK\), có:
\(\widehat{ACH}=\widehat{AKB}=90^o\) (chứng minh trên)
Chung góc A
\(\Rightarrow\Delta AHC\) đồng dạng với \(\Delta ABK\) (g.g)
\(\Rightarrow\frac{AC}{AK}=\frac{AH}{AB}\) (cặp tỉ lệ cạnh tương ứng)
\(\Rightarrow AH.AK=AC.AB=\frac{R}{2}.2R=R^2\) (điều phải chứng minh)
c)Xét \(\Delta MCA\)và \(\Delta MCO\), có:
Chung cạnh MC
CA = CO (giả thiết)
\(\widehat{MCA}=\widehat{MCO}=90^o\) (giả thiết)
\(\Rightarrow\Delta MCA=\Delta MCO\) (2 cạnh góc vuông)
\(\Rightarrow MA=MO\) (2 cạnh tương ứng)
Mà MO = OA = R
\(\Rightarrow MA=MO=OA\)
\(\Rightarrow\Delta AMO\) đều
\(\Rightarrow\widehat{MAB}=60^o\)
Dễ dàng chứng minh được tứ giác ABKM nội tiếp nên \(\widehat{MKE}=\widehat{MAB}=60^o\)
Mà MK = ME
\(\Rightarrow\Delta MKE\) đều
\(\Rightarrow ME=MK\)(1)
Ta có: \(\widehat{CMB}=\widehat{MAB}=60^o\) (cùng phụ với góc AMC)
\(\Rightarrow\widehat{NMK}=\widehat{BME}\)(2)
\(\widehat{CMB}=60^o\) \(\Rightarrow MB=2MC\)
Mà MN = 2MC (đường kính AB vuông góc với dây MN nên CM = CN)
\(\Rightarrow MN=MB\left(3\right)\)
Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow\Delta NMK=\Delta BME\)(c.g.c)
\(\Rightarrow NK=BE\) (2 cạnh tương ứng)
\(\Rightarrow NI+IK=BK+KI\)
\(\Rightarrow NI=BK\) (điều phải chứng minh)
Sửa lại một chút: Bài 2: làm a,b: 3 SP.
a,b,c: 10 GP.
Mk đang cần nhà tài trợ GP. Cho hỏi làm sao để cho G trực tiếp?
a. Góc AKB là góc nội tiếp chắn nửa (O) nên ∠AKB=90o
Khi này dễ dàng có đpcm
b.
Do C là trung điểm OA nên AC=\(\frac{OA}{2}\)=\(\frac{R}{2}\)
Tứ giác BCHK nội tiếp nên chứng minh được △AHC∼△ABK
Từ đó: \(\frac{AC}{AK}=\frac{AH}{AB}\)
⇒AH.AK=AC.AB=\(\frac{R}{2}\).2R=R2
c.
Lấy điểm E trên tia đối của BK sao cho KE=KM=KI
Chứng minh được tam giác AMO đều (có 3 cạnh = nhau) khi đó ∠MAB=60o
Dễ dàng chứng minh được tứ giác ABKM nội tiếp nên ∠MKE=∠MAB=60o
Khi đó tam giác MKE đều nên ME = MK(1)
Có ∠CMB=∠MAB=60o(hai góc cùng phụ với góc AMC) nên
∠MNK=∠BME(2)
Góc CMB=60o nên MB=2MC mà MN=2MC nên MN=MB(3)
Từ (1),(2) và (3) ➞ △NMK=△BME nên NK=BE hay NI+IK=BK+KI từ đó có đpcm
Sao ko thấy ai làm bài 2:
Tứ giác ABNM nội tiếp (O') nên \(\widehat{BAD}=\widehat{BNM}\)
Tứ giác BEAD nội tiếp (O) nên \(\widehat{BAD}=\widehat{BED}\)
Do đó \(\widehat{BED}=\widehat{BNM}\), hay tứ giác BEIN nội tiếp.
b) \(\widehat{BIM}=180^o-\widehat{BIN}=180^o-\widehat{NEB}=\widehat{BEA}\)
\(\widehat{BAE}=\widehat{BAN}=\frac{1}{2}sđ\stackrel\frown{BN}=\widehat{BMN}=\widehat{BMI}\)
Từ đó dễ có đpcm
c) Tính sau :v
c) 
Qua I kẻ đường thẳng song song với BN cắt BM tại F.
Gọi G là trung điểm của AB.
Dễ thấy các tứ giác OGCD, OECD nội tiếp.
Do đó năm điểm O, G, E, C, D cùng thuộc đường tròn (OCD).
Suy ra tứ giác OGED nội tiếp.
Ta có: \(\widehat{AGE}=\widehat{OGE}-90^o=180^o-\widehat{ODE}-90^o=90^o-\widehat{ODE}=90^o-\frac{180^o-\widehat{DOE}}{2}=\frac{\widehat{DOE}}{2}\)
\(\widehat{IFM}=\widehat{NBM}=\widehat{NAM}=180^o-\widehat{DAE}=180^o-\left(180^o-\frac{\widehat{DOE}}{2}\right)=\frac{\widehat{DOE}}{2}\)
Từ đó \(\widehat{AGE}=\widehat{IFM}\)
Suy ra tam giác AGE đồng dạng với tam giác MFI
Ta cũng có tam giác ABE đồng dạng với tam giác MBI mà G là trung điểm của AB nên F là trung điểm của MB (dễ c/m)
Suy ra I là trung điểm của MN. Vậy...
