[Ôn thi vào 10]
Câu 1:
a. Tìm điều kiện của \(x\) để biểu thức sau có nghĩa: \(A=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}\)
b. Tính: \(\dfrac{1}{3-\sqrt{5}}-\dfrac{1}{\sqrt{5}+1}\)
Câu 2:
Giải phương trình và bất phương trình sau:
a. \(\left(x-3\right)^2=4\)
b. \(\dfrac{x-1}{2x+1}< \dfrac{1}{2}\)
Câu 3:
Cho phương trình: \(x^2-2mx-1=0\)
a. Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1\) và \(x_2\)
b. Tìm các giá trị của \(m\) để: \(x_1^2+x_2^2-x_1x_2=7\)
Câu 4:
Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB (CD không đi qua tâm O). Trên tia đối của tia BA lấy điểm S; SC cắt (O;R) tại điểm thứ hai là M.
a. Chứng minh △SMA đồng dạng với △SBC.
b. Gọi H là giao điểm của MA và BC; K là giao điểm của MD và AB. Chứng minh BMHK là tứ giác nội tiếp và HK // CD.
c. Chứng minh: OK.OS = R2
Câu 5:
Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x^3+1=2y\\y^3+1=2x\end{matrix}\right.\)
Câu 1
a Biểu thức A = \(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}\) có nghĩa
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1\ge0\\3-x\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge1\\x\le3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow1\le x\le3\)
Vậy biểu thức A có nghĩa khi \(1\le x\le3\)
b) \(\dfrac{1}{3-\sqrt{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}+1}\)
\(=\dfrac{3+\sqrt{5}}{9-5}-\dfrac{\sqrt{5}-1}{5-1}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{4}-\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}=\dfrac{3+\sqrt{5}-\sqrt{5}+1}{4}=\dfrac{4}{4}=1\)
Câu 2:
a) \(\left(x-3\right)^2=4\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=2\\x-3=-2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=1\end{matrix}\right.\)
Vậy phương trình có nghiệm là: S ={5; 1}
b) ĐKXĐ: \(x\ne-\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{x-1}{2x+1}< \dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x-1}{2x+1}-\dfrac{1}{2}< 0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(x-1\right)-\left(2x+1\right)}{2\left(2x+1\right)}< 0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2x-2-2x-1}{2\left(2x+1\right)}< 0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{-3}{2\left(2x+1\right)}< 0\)
Vì -3 < 0 \(\Rightarrow2\left(2x+1\right)>0\)
\(\Rightarrow2x+1>0\)
\(\Rightarrow x>-\dfrac{1}{2}\)
Vậy bất phương trình có nghiệm là: \(x>-\dfrac{1}{2}\)
Câu 5 :
\(\left\{{}\begin{matrix}x^3+1=2y\left(1\right)\\y^3+1=2x\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Trừ từng vế của (1) cho (2) ta được: \(x^3-y^3=2y-2x\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+2\left(x-y\right)=0\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2+2\right)=0\) \(\Leftrightarrow x-y=0\) vì \(x^2+xy+y^2+2=\left(x+\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2+2>0\) \(\Leftrightarrow x=y\) Thay vào (1) ta được:
\(y^3+1=2y\Leftrightarrow y^3-2y+1=0\Leftrightarrow y^3-y^2+y^2-y-y+1=0\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(y^2+y-1\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\\y^2+y-1=0\end{matrix}\right.\)
Nếu y=1\(\Rightarrow x=y=1\)
Nếu \(y^2+y-1=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\\y=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\) hoặc \(x=y=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\)
Vậy...
Câu 3 Xét phương trình \(x^2-2mx-1=0\)
có \(\Delta'=\left(-2\right)^2-\left(1.\left(-1\right)\right)=5>0\)
=> Phương trình luôn có 2 nghiệm \(x_1vàx_2\)
b) Do phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
=> Theo định lí viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1.x_2=-1\end{matrix}\right.\)
Để \(x_1^2+x_x^2-x_1x_2=7\)
=> \(x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-3x_1x_2=7\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2=7\)
\(\Leftrightarrow\left(2m\right)^2+3=7\)
\(\Leftrightarrow4m^2=4\)
\(\Leftrightarrow m^2=1\Leftrightarrow m=1hoặcm=-1\)
Vậy m =1 hoặc m= -1 là giá trị cần tìm
Câu 1
a Biểu thức A = √x−1+√3−xx−1+3−x có nghĩa
⇔{x−1≥03−x≥0⇔{x≥1x≤3⇔1≤x≤3⇔{x−1≥03−x≥0⇔{x≥1x≤3⇔1≤x≤3
Vậy biểu thức A có nghĩa khi 1≤x≤31≤x≤3
b) =3+√59−5−√5−15−1=3+√54−√5−14=3+√5−√5+14=44=1
