Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Mai Hương

Nhờ mọi người giải hộ câu 5. cảm ơn ạ!

Nguyễn Việt Lâm
19 tháng 6 2020 lúc 5:55

Theo Dirichlet, trong 3 số a;b;c luôn có 2 số cùng phía so với 1, giả sử đó là a và b

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)

\(\Rightarrow2ab+2\ge ab+a+b+1=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\)

\(\Rightarrow2\left(ab+1\right)\left(c+1\right)\ge\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)

\(\Rightarrow\frac{2}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{1}{\left(ab+1\right)\left(c+1\right)}=\frac{1}{\left(\frac{1}{c}+1\right)\left(c+1\right)}=\frac{c}{\left(c+1\right)^2}\)

Mặt khác ta lại có:

\(\left(a+1\right)^2=\left(\sqrt{ab}.\sqrt{\frac{a}{b}}+1.1\right)^2\le\left(ab+1\right)\left(\frac{a}{b}+1\right)=\frac{\left(ab+1\right)\left(a+b\right)}{b}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)^2}\ge\frac{b}{\left(ab+1\right)\left(a+b\right)}\)

Tương tự: \(\frac{1}{\left(b+1\right)^2}\ge\frac{a}{\left(ab+1\right)\left(a+b\right)}\Rightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)^2}+\frac{1}{\left(b+1\right)^2}\ge\frac{1}{ab+1}=\frac{1}{\frac{1}{c}+1}=\frac{c}{c+1}\)

Do đó:

\(VT=\frac{1}{\left(a+1\right)^2}+\frac{1}{\left(b+1\right)^2}+\frac{1}{\left(c+1\right)^2}+\frac{2}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)

\(VT\ge\frac{c}{c+1}+\frac{1}{\left(c+1\right)^2}+\frac{c}{\left(c+1\right)^2}=\frac{c\left(c+1\right)+1+c}{\left(c+1\right)^2}=\frac{\left(c+1\right)^2}{\left(c+1\right)^2}=1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)


Các câu hỏi tương tự
Hương
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Đăng Trần
Xem chi tiết
Nguyễn Thành Trung Kiên
Xem chi tiết
Cát Cát Trần
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Linh Phương
Xem chi tiết
Triết
Xem chi tiết
tthnew
Xem chi tiết