a: Ta có: \(y=\frac13\cdot x^3-\left(m-1\right)\cdot x^2+2\left(m-1\right)x+2\)
=>y'=\(\frac13\cdot3x^2-\left(m-1\right)\cdot2x+2\left(m-1\right)\)
=>y'=\(x^2-\left(2m-2\right)\cdot x+\left(2m-2\right)\)
Để hàm số đồng biến trên tập xác định của nó thì y'>=0∀x
\(\Delta=\left(2m-2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(2m-2\right)=\left(2m-2\right)\left(2m-2-4\right)=\left(2m-2\right)\left(2m-6\right)\)
Để y'>=0∀x thì Δ<=0 và a>0
=>(2m-2)(2m-6)<=0 và 1>0(đúng)
=>4(m-1)(m-3)<=0
=>(m-1)(m-3)<=0
=>1<=m<=3
b: \(y=\frac{m^2\cdot x-m}{x+1}\)
=>\(y^{\prime}=\frac{\left(m^2x-m\right)^{\prime}\cdot\left(x+1\right)-\left(m^2x-m\right)\left(x+1\right)^{\prime}}{\left(x+1\right)^2}\)
\(=\frac{\left(m^2\right)\left(x+1\right)-\left(m^2x-m\right)}{\left(x+1\right)^2}=\frac{m^2x+m^2-m^2x+m}{\left(x+1\right)^2}=\frac{m^2+m}{\left(x+1\right)^2}\)
Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì y'>0∀x
=>\(m^2+m>0\)
=>m(m+1)>0
=>m>0 hoặc m<-1
