Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
NBH Productions

\(n\ge3;a,b,c>0\)

CMR :

\(\dfrac{1}{a^n\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^n\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{c^n\left(a+b\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)

Akai Haruma

HiệU NguyễN
23 tháng 11 2018 lúc 0:57

Áp dụng BĐT holder cho n bộ 3 số:

\(\left(\sum\dfrac{b^nc^n}{b+c}\right)\left[\sum\left(b+c\right)\right]\left(1+1+1\right)..\left(1+1+1\right)\ge\left(ab+bc+ca\right)^n\)

\(\Leftrightarrow VT\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^n}{3^{n-2}.2.\left(a+b+c\right)}\ge\dfrac{3^{n-2}.3abc\left(a+b+c\right)}{3^{n-2}.2.\left(a+b+c\right)}=\dfrac{3}{2}\)

#Hint:(\(\left\{{}\begin{matrix}ab+bc+ca\ge3\\\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\end{matrix}\right.\))

BĐT holder thường dùng:

\(\left(a_1^m+a_2^m+...+a_k^m\right)\left(b_1^m+b_2^m+...+b_k^m\right)...\left(c_1^m+...+c_k^m\right)\ge\left(a_1b_1...c_1+a_2.b_2...c_2+...+a_k.b_k...c_k\right)^m\)

trong đó VT có m thừa số từ a đến c

NBH Productions
20 tháng 11 2018 lúc 20:51

abc = 1 nưa nha


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thị Bình Yên
Xem chi tiết
Phan Cả Phát
Xem chi tiết
Học tốt
Xem chi tiết
Linh Le Thuy
Xem chi tiết
Phạm Phương Anh
Xem chi tiết
Cố Gắng Hơn Nữa
Xem chi tiết
王俊凯
Xem chi tiết
Anh Phạm Xuân
Xem chi tiết
Dung Phạm
Xem chi tiết