Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Anh Phạm Xuân

Cho a,b,c >0 và abc =1. CMR:

\(\dfrac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\dfrac{b}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\dfrac{c}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}\ge\dfrac{3}{4}\)

Tinh Lãm
16 tháng 10 2018 lúc 20:08

Giải:

\(\dfrac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\dfrac{b}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\dfrac{c}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}\ge\dfrac{3}{4}\)(*)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{a\left(c+1\right)+b\left(a+1\right)+c\left(b+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{ac+a+ab+b+bc+c}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\) \(\ge\) \(\dfrac{3}{4}\)

Do a+1 ; b+1; c+1 >0

\(\Rightarrow\) 4ac+4a+4ab+4b+4bc+4c \(\ge\) 3abc+3ac+3bc+3ab+3a+3b+3c+3

\(\Leftrightarrow\) ac+ab+bc+a+b+c -6 \(\ge\) 0

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số

Ta có: a+b+c \(\ge\) \(3\sqrt[3]{abc}=3\)

ab+bc+ca \(\ge\) \(3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\) = 3

\(\Rightarrow\)ac+ab+bc+a+b+c -6 \(\ge\) 0 ( luôn đúng)

\(\Rightarrow\) (*) được chứng minh

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) a=b=c=1


Các câu hỏi tương tự
Cố Gắng Hơn Nữa
Xem chi tiết
Hoang Linh
Xem chi tiết
Học tốt
Xem chi tiết
Nue nguyen
Xem chi tiết
T.Huyền
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Bình Yên
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Bình Yên
Xem chi tiết
Hày Cưi
Xem chi tiết
GG boylee
Xem chi tiết