Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
T.Huyền

cho a,b,c>0, CMR:

\(\left(a+b+\dfrac{1}{4}\right)^2+\left(b+c+\dfrac{1}{4}\right)^2+\left(c+a+\dfrac{1}{4}\right)^2\ge4\left(\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}}\right)\)

Unruly Kid
2 tháng 12 2017 lúc 16:49

Viết gọn lại, ta cần chứng minh:
\(\sum\left(a+b+\dfrac{1}{4}\right)^2\ge\sum4\left(\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\right)\)

\(\Leftrightarrow\sum\left(a+b+\dfrac{1}{4}\right)^2\ge\sum4\left(\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{ab}}\right)=\sum\dfrac{4ab}{a+b}\)

Thật vậy, ta có:

\(\sum\left(a+b+\dfrac{1}{4}\right)^2\ge\sum\left(2\sqrt{\left(a+b\right).\dfrac{1}{4}}\right)^2=\sum a+b\)

Vậy ta cần chứng minh:

\(\sum a+b\ge\sum\dfrac{4ab}{a+b}\Leftrightarrow\sum\left(a+b\right)^2\ge\sum4ab\Leftrightarrow\sum\left(a-b\right)^2\ge0\)

Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi a=b=c



Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thị Bình Yên
Xem chi tiết
Cố Gắng Hơn Nữa
Xem chi tiết
Anh Phạm Xuân
Xem chi tiết
Học tốt
Xem chi tiết
Luyri Vũ
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết
Hày Cưi
Xem chi tiết
Box Gaming
Xem chi tiết
王俊凯
Xem chi tiết