Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Cố Gắng Hơn Nữa

a;b;c>0 / abc=1. CMR:

\(\dfrac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\dfrac{b}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\dfrac{c}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}\ge\dfrac{3}{4}\)

Akai Haruma
14 tháng 5 2018 lúc 17:40

Lời giải:

Ta có:

\(\text{VT}=\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)(c+1)}+\frac{c}{(c+1)(a+1)}\)

\(=\frac{a(c+1)+b(a+1)+c(b+1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}=\frac{ab+bc+ac+a+b+c}{abc+(ab+bc+ac)+(a+b+c)+1}\)

\(=\frac{ab+bc+ac+a+b+c}{2+(a+b+c)+ab+bc+ac}\)

Ta cần chứng minh \(\text{VT}\geq \frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow \frac{ab+bc+ac+a+b+c}{2+(a+b+c)+ab+bc+ac}\geq \frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow 4(ab+bc+ac+a+b+c)\geq 3(ab+bc+ac+a+b+c)+6\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ac+a+b+c\geq 6\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ac+a+b+c\geq 6\sqrt[6]{ab.bc.ac.a.b.c}\)

(Đúng theo BĐT Cô-si)

Do đó ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)


Các câu hỏi tương tự
Anh Phạm Xuân
Xem chi tiết
Hoang Linh
Xem chi tiết
Học tốt
Xem chi tiết
Nue nguyen
Xem chi tiết
T.Huyền
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Bình Yên
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Bình Yên
Xem chi tiết
Hày Cưi
Xem chi tiết
GG boylee
Xem chi tiết