Question

Nếu x và y là các số thực thỏa mãn \(x^2+y^2=1\) thì giá trị lớn nhất của biểu thức \(\left(x+y\right)^2\) là...

Answer 1

Mk làm lại nha

Đặt : A = ( x + y)²

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki vào bài toán , ta có :

( x² + y²)( 1² + 1²) ≥ ( x + y)²

⇔ ( x + y)² ≤ 2

⇒ A_MAX = 2 ⇔ x = y = \(\sqrt{\dfrac{1}{2}}\)

Answer 2

Ta có: \(\left(x+y\right)^2=x^2+2xy+y^2=1+2xy\)

lại có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow-2xy\ge-1\)

\(\Leftrightarrow2xy\le1\)

do đó \(\left(x+y\right)^2\le1+1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\)

Vậy GTLN của \(\left(x+y\right)^2\) là 2

Answer 3

Ta có \(\left(x+y\right)^2=x^2+2xy+y^2=1+2xy\) (1)

Mà \(\left(x-y\right)^2\ge0\)

<=> \(x^2-2xy+y^2\ge0\)

<=>\(2xy\le1\) (2)

Từ (1) và (2)=>\(\left(x+y\right)^2\le2\)

Vậy GTLN của biểu thức là 2

Answer 4

Cách khác :

Đặt : A = ( x + y)²

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki vào bài toán , ta có :

( x² + y²)( 1² + 1²) ≥ ( x + y)²

⇔ ( x + y)² ≤ 2

⇒ A_MAX = 2 ⇔ x = y = 1