Question

n² ( n + 1 ) + 2n ( n + 1 )

Chứng minh rằng đa thức trên luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

chứng minh và giải thích giùm mình nhé!

Answer 1

Ta có n^2(n+1)+2n(n+1) = n^3+3n^2+2n = n(n^2+3n+2) = n(n+1)(n+2)
Ta thấy n, n+1, n+2 là ba số nguyên liên tiếp với n nguyên
=> Trong 3 số n, n+1, n+2 có một số chia hết cho 3, có ít nhất một số chia hết cho 2
=> n(n+1)(n+2) chia hết cho 2*3 = 6 (vì ƯCLN(2;3)=1)
Vậy ta được điều phải chứng minh.

Nguồn

Answer 2

\(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)\\ =\left(n^2+2n\right)\left(n+1\right)\\ =n\left(n+2\right)\left(n+1\right)\)

Vì n, (n+1) và (n+2) là ba số tư nhiên liên tiếp do đó tích của 3 số này sẽ chia hết cho 2 và 3 --> chia hết cho 6

Answer 3

\(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)=\left(n+1\right)\left(n^2+2n\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Một số tự nhiên luôn có dạng 2k hoặc 2k+1 (kϵN*)

Nếu: \(n=2k\Rightarrow n⋮2\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2\)

Nếu:\(n=2k+1\Rightarrow n+1=2k+1+1=2k+2⋮2\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2\)

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2\)(1)

Một số tự nhiên luôn có dạng 3k hoặc 3k+1 hoặc 3k+2 (kϵN*)

Nếu: \(n=3k\Rightarrow n⋮3\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3\)

Nếu: \(n=3k+1\Rightarrow n+2=3k+3⋮3\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3\)

Nếu: \(n=3k+2\Rightarrow n+1=3k+3⋮3\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3\)

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\)