Question

1. Chứng minh rằng 55ⁿ⁺¹ - 55ⁿ chia hết cho 54 ( với n là số tự nhiên )

2.CMR : n² . ( n+1) + 2n . ( n+1) luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

Answer 1

1) \(55^{n+1}-55^n\) \(= 55^n . 55 - 55^n\)

\(= 55^n(55-1)\)

\(= 55^n . 54\)

\(= 55^n - 54 : 54\)

\(= 55^n\)

Answer 2

1 ta co 55ⁿ⁺¹ - 55ⁿ = 55ⁿ(55-1)=55ⁿ .54 vi 54 chia het cho 54 => 55ⁿ.54 chia het cho 54

=> 55^n+1 -55^n chia het cho 4

Answer 3

1. Ta có 55ⁿ⁺¹ - 55ⁿ = 55ⁿ . 55 - 55ⁿ

= 55ⁿ . ( 55 - 1)

= 55ⁿ . 54 chia hết cho 54

2. n² . ( n + 1 ) + 2n . ( n + 1 ) = ( n + 1 ) . ( n² + 2n )

= ( n + 1 ) . n . ( n + 2 )

= n . ( n + 1 ) . ( n + 2 )

Ta có : n . ( n + 1 ) chia hết cho 2 với mọi n (1)

n . ( n + 1 ) . ( n + 2 ) chia hết cho 3 với mọi n (2)

Từ (1) và (2) suy ra n . ( n + 1 ) . ( n + 2 ) chia hết cho 6 với mọi n

Hay n² . ( n + 1 ) + 2n . ( n + 1 ) chia hết cho 6 với mọi n

Answer 4

2) \(n^2 . (n + 1 ) + 2n . (n + 1)\) \(= (n + 1) (n^2 + 2)\)

\(= (n+1) . n .( n + 2 )\)

\(= n . (n +1) (n+2)\)

Ta có : Vì \(n . (n+1) \) là \(2\) số nguyên liên tiếp nên \(⋮\) \(2\)

\(n.(n+1) ( n + 2 )\) là \(3\) số nguyên liên tiếp nên \(⋮\) 3

Vậy,từ đó suy ra :

\(n . (n + 1 ) (n + 2)\) chia hết cho \(6\) với mọi số nguyên \(n\)

Hay

\(n^2 (n +1) + 2n (n+1)\) chia hết cho \(6\) với mọi số nguyên \(n\)