Một bể bơi hình chữ nhật rộng 50m, dài 200m. Một vận động viên tập luyện chạy phối hợp với bơi như sau: Xuất phát từ vị trí A chạy theo chiều dài bể bơi đến vị trí điểm M và bơi từ điểm M thẳng đến đích là điểm B(đường nét đậm) như hình vẽ. Hỏi vận động viên đó nên chọn vị trí điểm M cách điểm A bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) để đến đích nhanh nhất? Biết rằng vận tốc bơi là 1,4 m/s và vận tốc chạy là 4,2 m/s.
A. 183m B. 182m C. 181m D. 180m
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, Cho ba điểm A(0;4;-3). Xét đường thẳng d thay đổi, song song trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, đi đi qua điểm nào sau đây ?
A. M(0;-3;-5) B. N(0;11;-3) C. P(0;3;-5) D. Q(-3;0;-3)
Cho mp (P): 3x – y – z + 2 = 0
a) Cho điểm C(-3; 2; 4). Tính d(C; (P))
b) Tìm điểm M thuộc Ox sao cho khoảng cách từ M đến O và đến mp(P) là bằng nhau
c) Viết pt mp (Q) song song với (P) và (Q) cách A(-1; 3;2) một khoảng bằng 5
d) Viết pt mp (Q) song song với (P) và (Q) cách B(0; 1; -4) một khoảng bằng khoảng cách từ B đến mp(P)
e) Viết pt mp(P) song song và cách mp(Q) một khoảng bằng 3
f) Cho (P1): 6x – 2y – 2z +9. Tính khoảng cách giữa (P) và (P1)
g) Cho (P2): 3x – y – z – 10 = 0. Viết pt mp song song và cách đều (P) và (P2)
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với đáy, SA=a. Góc giữa SD và (SAC) bằng 30o. Tính thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBM), (M là trung điểm CD)
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z}{1}\) và hai điểm \(A\left(1;-1;1\right)\), \(B\left(4;2;-2\right)\). Gọi Δ là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(d\) sao cho khoảng cách từ điểm \(B\) đến Δ là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng Δ là:
A. \(\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-1}{4}\) B. \(\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-1}{4}\)
C. \(\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-1}{4}\) D. \(\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-1}{-4}\)
1. (Nam Tư, 81) Cho tam giác nhọn ABC không đều. Kẻ đường cao AH, trung tuyến BM và đường phân giác CL của góc ACB. Trung tuyến BM cắt AH và CL lần lượt tại P, Q. CL cắt AH ở R. Chứng minh rằng tam giác PQR không phải là tam giác đều.
2. (Bỉ, 77) Chứng mình rằng nếu cho trước các số thực dương a, b, c và với mỗi giá trị của n N, tồn tại một tam giác có cạnh an, bn, cn thì tất cả tam giác đó đều là tam giác cân.
3. (Thuỵ Điển, 82) Tìm tất cả các giá trị của n N để với mỗi giá trị đó tồn tại số m N, mà tam giác ABC có cạnh AB = 33, AC = 21, BC = n và các điểm D, E lần lượt ở trên cạnh AB, AC thoả mãn điều kiện AD=DE=EC=m.
4. (Việt Nam, 79) Tìm tất cả bộ ba các số a, b, c N là các độ dài các cạnh của tam giác nội tiếp đường tròn đường kính 6,25.
5. (Nữu Ước, 78) Tam giác ABC và tam giác DEF cùng nội tiếp trong một đường tròn. Chứng minh rằng chu vi của chúng bằng nhau khi và chỉ khi có: sinA+sinB+sinC=sinD+sinE+sinF.
6. (Nam Tư, 81) Một đường thẳng chia một tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau và chu vi bằng nhau. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp tam giác nằm trên đường thẳng ấy.
7. (Áo, 83) Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, AC, BC lấy lần lượt các điểm C’, B’, A’ sao cho các đoạn AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại một điểm. Các điểm A”, B”, C” lần lượt đối xứng với các điểm A, B, C qua A’, B’, C’. Chứng minh rằng: SA”B”C” = 3SABC + 4SA’B’C’
8. (Áo, 71) Các đường trung tuyến của tam giác ABC cắt nhau tại O. Cmr: AB2 + BC2 + CA2 = 3(OA2 + OB2 + OC2)
9. (Nữu Ước, 79) Chứng minh rằng nếu trọng tâm của một tam giác trùng với trọng tâm của tam giác có các đỉnh là trung điểm các đường biên của nó, thì tam giác đó là tam giác đều.
10. (Anh, 83) Giả sử O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh rằng nếu AB=AC thì OE vuông góc với CD.
11. (Tiệp Khắc, 72) Tìm tất cả các cặp số thực dương a, b để từ chúng tồn tại tam giác vuông CDE và các điểm A, B ở trên cạnh huyền DE thoả mãn điều kiện: và AC=a, BC=b.
12. (Nữu Ước, 76) Tìm một tam giác vuông có các cạnh là số nguyên, có thể chia mỗi góc thành ba phần bằng nhau bằng thước kẻ và compa.
13. (Phần Lan, 80) Cho tam giác ABC. Dựng các đường trung trực của AB và AC. Hai đường trung trực trên cắt đường thẳng BC ở X và Y tương ứng. Chứng minh rằng đẳng thức: BC=XY
a) Đúng nếu tanB.tanC=3
b) Đẳng thức có thể đúng khi tanB.tanC 3: khi đó hãy tìm tập hợp M thuộc R để đẳng thức đã dẫn trên tương đương với điều kiện tanB.tanC M.
14. (Nữu Ước, 76) O là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Trên đoạn OB và OC người ta lấy hai điểm B1 và C1 sao cho . Chứng minh rằng AB1=AC1.
15. (Anh, 81) O là trực tâm của tam giác ABC, A1, B1, C1 là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Đường tròn tâm O cắt đường thẳng B1C1 ở D1 và D2, cắt đường thẳng C1A1 ở E1 và E2, cắt đường thẳng A1B1 ở F1 và F¬2. Cmr: AD1=AD2=BE1=BE2=CF1=CF2.
16. (Nam Tư, 83) Trong tam giác ABC lấy điểm P, còn trên cạnh AC và BC lấy các điểm tương ứng M và L sao cho: và . Chứng minh rằng nếu D là trung điểm cạnh AB thì DM=DL.
17.Tìm quĩ tích các điểm M trong tam giác ABC thoả mãn điều kiện: MAB + MBC+ MCA=90
18.Kí hiệu Bij (i, j {1;2;3}) là điểm đối xứng của đỉnh Ai của tam giác thường A1A2A3 qua phân giác xuất phát từ đỉnh A1. Chứng minh rằng các đường thẳng B12B21, B13B31, B23B32 song song với nhau.
19. Đường phân giác trong và ngoài góc C của tam giác ABC cắt đường thẳng AB ở L và M. Chứng minh rằng nếu CL=CM thì: AC2+BC2=4R2 (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(3;4;-2), B(1;0;-1), C(3;0;3), D(4;-1;1)
a) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
b)Viết phương trình mặt phẳng(ABC).CM ABCD là một tứ diện.Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC)
c) Tìm tọa độ điểm D' đối xứng với điểm D qua mặt phẳng (ABC)
d) Viết PT mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD
Trong không gian cho góc tam diện vuông OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau. Cho OB =OC = 2a; OA = 3a. Điểm M thuộc cạnh AC sao cho AC = 3AM. Điếm N là trung điểm BC Tính khoảng cách từ B đến mp(OMN)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD= 3a/2 , hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD), bằng phương pháp tọa độ.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD= 3a/2 , hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD), bằng phương pháp tọa độ.
