Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lê Thanh Tịnh

Mình bik làm bài này r nhưng dài quá

Cok ai giúp mik cách khác dc k

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=abc . tìm giá trị lớn nhất của bt

\(S=\dfrac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{ca\left(1+b^2\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{ab\left(1+c^2\right)}}\)

Akai Haruma
26 tháng 12 2017 lúc 11:25

Lời giải:

Ta có:

\(a+b+c=abc\Rightarrow a^2+ab+ac=a^2bc\)

\(\Rightarrow a^2+ab+ac+bc=a^2bc+bc\)

\(\Leftrightarrow (a+b)(a+c)=bc(a^2+1)\)

Tương tự: \(\left\{\begin{matrix} ac(b^2+1)=(b+c)(b+a)\\ ab(c^2+1)=(c+a)(c+b)\end{matrix}\right.\)

Do đó: \(S=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(A\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\right)\)

\(\Leftrightarrow S\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{a+c}{a+c}+\frac{b+c}{b+c}\right)=\frac{3}{2}\)

Vậy \(S_{\max}=\frac{3}{2}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)


Các câu hỏi tương tự
Sĩ Bí Ăn Võ
Xem chi tiết
michelle holder
Xem chi tiết
Han Sara
Xem chi tiết
Phát Trần Tấn
Xem chi tiết
Đặng Hà Minh Huyền
Xem chi tiết
noname
Xem chi tiết
Quyên Bùi
Xem chi tiết
Thái Viết Nam
Xem chi tiết
Nhật Hạ
Xem chi tiết