Question

M=\(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{4\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\) với x>0, x #4

a) Rút gọn biểu thức M

b) Tính giá trị của M khi x=\(3+2\sqrt{2}\)

c) Tìm giá trị của x để M >0

Answer 1

a) Ta có: \(M=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{4\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{x-4\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)^2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}\)

b) Ta có: \(x=3+2\sqrt{2}\)

\(=2+2\cdot\sqrt{2}\cdot1+1\)

\(=\left(\sqrt{2}+1\right)^2\)

Thay \(x=\left(\sqrt{2}+1\right)^2\) vào biểu thức \(M=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}\), ta được:

\(M=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}-2}{\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}}\)

\(=\frac{\sqrt{2}+1-2}{\sqrt{2}+1}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}\)

hay \(M=3-2\sqrt{2}\)

Vậy: Khi \(x=3+2\sqrt{2}\) thì \(M=3-2\sqrt{2}\)

c) Để M>0 thì \(\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}>0\)

mà \(\sqrt{x}>0\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ

nên \(\sqrt{x}-2>0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}>2\)

hay x>4

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: x>4

Vậy: Để M>0 thì x>4

Answer 2

a, M = \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{4\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\) (x > 0; x \(\ne\) 4)

M = \(\frac{x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}-\frac{4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

M = \(\frac{x-4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

M = \(\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

M = \(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\)

b, Ta có: \(x=3+2\sqrt{2}\) = \(2+2\sqrt{2}+1\) = \(\left(\sqrt{2}+1\right)^2\) (TMĐK)

\(\Rightarrow\) \(\sqrt{x}=\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}=\sqrt{2}+1\)

Thay \(\sqrt{x}=\sqrt{2}+1\) vào M ta được:

M = \(\frac{\sqrt{2}+1+2}{\sqrt{2}+1}\) = \(\frac{\sqrt{2}+3}{\sqrt{2}+1}\) = \(\left(\sqrt{2}+3\right)\left(\sqrt{2}-1\right)\) = 2 - \(\sqrt{2}\) + 3\(\sqrt{2}\) - 3 = 2\(\sqrt{2}\) - 1

Vậy M = 2\(\sqrt{2}\) - 1 với x = 3 + 2\(\sqrt{2}\)

c, M > 0 \(\Leftrightarrow\) \(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\) > 0

Ta có: x > 0 \(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{x}\) > 0 \(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{x}+2\) > 2 > 0

\(\Rightarrow\) M > 0 \(\Leftrightarrow\) x > 0 (Vì \(\sqrt{x}\) > 0 và \(\sqrt{x}+2\) > 0)

K/hợp với đk: M > 0 \(\Leftrightarrow\) x > 0 và x \(\ne\) 4

Vậy M > 0 khi x > 0 và x \(\ne\) 4.

Chúc bn học tốt!