Phương trình: \(\left(m-1\right)x^2-2mx+m+1=0\left(1\right)\) đk: \(m\ne1\)
Xét phương trình (1) có:
\(\Delta=4m^2-4\left(m-1\right)\left(m+1\right)\)
= \(4m^2-4m^2+4=4\)
Vì 4>0 \(\Leftrightarrow\Delta>0\)
\(\Rightarrow\) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2m}{m-1}\\x_1.x_2=\dfrac{m+1}{m-1}\end{matrix}\right.\)
Theo đề bài ta có:
\(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{5}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}+\dfrac{5}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}+\dfrac{5}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2}{x_1x_2}-2+\dfrac{5}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{2m}{m-1}\right)^2:\dfrac{m+1}{m-1}+\dfrac{1}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{4m^2}{\left(m-1\right)^2}.\dfrac{m-1}{m+1}+\dfrac{1}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{4m^2}{\left(m-1\right)\left(m+1\right)}+\dfrac{1}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow8m^2+\left(m-1\right)\left(m+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow9m^2-1=0\)
\(\Leftrightarrow m^2=\dfrac{1}{9}\)
\(\Leftrightarrow m=\pm\dfrac{1}{3}\) (tm)
Vậy để phương trình (1) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{5}{2}=0\) thì \(m=\pm\dfrac{1}{3}\)
