Question

Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = (m²-1)x³+(m-1)x²-x+4 nghịch biến trên khoảng (\(-\infty\);\(+\infty\))?

Answer 1

- Nếu m = -1,hàm số trở thành y=-2x²-x+4 và y'=-4x-1.Dễ thấy hàm số đồng biến trên \(\left(-\infty;-\dfrac{1}{4}\right)\)và nghịch biến trên \(\left(-\dfrac{1}{4};+\infty\right)\).

- Nếu m = 1,hàm số trở thành y = -x + 4 luôn nghịch biến trên \(\left(-\infty;+\infty\right)\).Vậy m=1 là một giá trị nguyên thỏa mãn.

- Nếu m \(\ne\pm1\),ta có y'=3(m²-1)x²+2(m-1)x-1.

Để hàm số nghịch biến trên khoảng\(\left(-\infty;+\infty\right)\Leftrightarrow\)y'\(\le\)0,\(\forall x\in\)R

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-1< 0\\\Delta'=\left(m-1\right)^2+3\left(m^2-1\right)\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1< m< 1\\\left(m-1\right)\left(4m+2\right)\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}\left\{{}\begin{matrix}-1< m< 1\\-\dfrac{1}{2}\le m\le1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}-\dfrac{1}{2}\le m< 1}\)

Suy ra có 1 nguyên m=0 thỏa mãn yêu cầu bài toán trong trường hợp này.

Vậy có tất cả hai giá trị nguyên m=0,m=1 thỏa mãn bài toán.