Question

gọi x1 x2 là 2 nghiệm của phương trình 2x^2-(2m+1)x-m-1=0.tìm GTNNcủa (x1-x2)^2

Answer 1

Lời giải:

Điều kiện để pt có nghiệm:

\(\Delta=(2m+1)^2-8(-m-1)\geq 0\Leftrightarrow (2m+3)^2\geq 0\)

(luôn đúng với mọi m)

Với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình đã cho. Áp dụng hệ thức Viete ta có:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{2m+1}{2}\\ x_1x_2=\frac{-(m+1)}{2}\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2\)

\(=\left(\frac{2m+1}{2}\right)^2+2(m+1)=\frac{4m^2+12m+9}{4}\)

Ta có:

\(4m^2+12m+9=(2m+3)^2\geq 0\)

\(\Rightarrow (x_1-x_2)^2\geq 0\)

Vậy \((x_1-x_2)^2_{\min}=0\Leftrightarrow m=\frac{-3}{2}\)