Question

Gọi \(x_1,x_2\) là 2 nghiệm của phương trình \(x^2-2\left(m+1\right)+m^2-1\) . Tìm giá trị của m để biểu thức \(x_1x_2+2\left(x_1+x_2\right)\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Answer 1

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-m^2+1=2\left(m+1\right)\ge0\Rightarrow m\ge-1\)

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=m^2-1\end{matrix}\right.\)

\(A=x_1x_2+2\left(x_1+x_2\right)\)

\(A=m^2-1+4\left(m+1\right)=m^2+4m+3\)

\(A=\left(m+1\right)\left(m+3\right)\ge0\) \(\forall m\ge-1\)

\(A_{min}=0\) khi \(m=-1\)

Answer 2

Theo hệ thức Vi - ét, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right) = 2m + 2\\ {x_1}{x_2} = {m^2} - 1 \end{array} \right.\)

Theo đề bài ta có:

\( A = {x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\\ A = {m^2} - 1 + 2\left( {2m + 2} \right)\\ A = {m^2} - 1 + 4m + 4\\ A = {m^2} + 4m + 3\\ A = \left( {{m^2} + 2.m.2 + {2^2}} \right) - 1\\ A = {\left( {m + 2} \right)^2} - 1 \ge - 1 \)

Vậy \(A_{min}=-1\Leftrightarrow m=-2\)