Vì a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác (gt).
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c< a+b\\a< b+c\\b< a+c\end{matrix}\right.\) (theo bất đẳng thức trong tam giác).
Ta có công thức: \(\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\left(\frac{a}{b}< 1;a,b,m>0\right).\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{a}{b+c}< \frac{a+a}{a+b+c}=\frac{2a}{a+b+c}\left(1\right)\\\frac{b}{a+c}< \frac{b+b}{a+b+c}=\frac{2b}{a+b+c}\left(2\right)\\\frac{c}{a+b}< \frac{c+c}{a+b+c}=\frac{2c}{a+b+c}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế (1), (2) và (3) ta được:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< 2\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!
