Bài 2: Tích phân

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Vũ Như Quỳnh

giúp mình với:

1 CHO HÀM SỐ f(x) =y có đạo hàm liên tục trên [0,1], thỏa mãn :

(f '(x)2) +4 f(x)= 8x2+4 với mọi x[0,1] và f(1)=2]'

TÍNH \(\int_0^1f\left(x\right)dx\)

Nguyễn Việt Lâm
3 tháng 6 2019 lúc 23:21

Lấy tích phân 2 vế giả thiết:

\(\int\limits^1_0\left(f'\left(x\right)\right)^2dx+4\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=\int\limits^1_0\left(8x^2+4\right)dx=\frac{20}{3}\)

Xét \(I=\int\limits^1_0f\left(x\right)dx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=f\left(x\right)\\dv=dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=f'\left(x\right)dx\\v=x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=x.f\left(x\right)|^1_0-\int\limits^1_0x.f'\left(x\right)dx=2-\int\limits^1_0x.f'\left(x\right)dx\)

\(\Rightarrow\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx+8-4\int\limits^1_0x.f'\left(x\right)dx=\frac{20}{3}\)

\(\Leftrightarrow\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx-2\int\limits^1_02x.f'\left(x\right)dx+\int\limits^1_04x^2dx=\frac{20}{3}-8+\int\limits^1_04x^2dx=0\)

\(\Leftrightarrow\int\limits^1_0\left[\left[f'\left(x\right)\right]^2-2.2x.f'\left(x\right)+4x^2\right]dx=0\)

\(\Leftrightarrow\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)-2x\right]^2dx=0\Rightarrow f'\left(x\right)=2x\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=x^2+C\)

Do \(f\left(1\right)=2\Rightarrow2=1+C\Rightarrow C=1\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=x^2+1\Rightarrow\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=\int\limits^1_0\left(x^2+1\right)dx=\frac{4}{3}\)


Các câu hỏi tương tự
Trùm Trường
Xem chi tiết
Sonyeondan Bangtan
Xem chi tiết
Vũ Như Quỳnh
Xem chi tiết
Hùng
Xem chi tiết
Lacus Clyne
Xem chi tiết
minh trinh
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Kaikitan
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh
Xem chi tiết