Question

giúp mình bài toán này với : tìm GTNN của biểu thức \(A=\dfrac{x^2+x+1}{x+\sqrt{x}+1},x>0,x\ne1\)

Answer 1

Đặt \(\sqrt{x}=a\left(a>0;a\ne1\right)\), ta có:

\(A=\dfrac{a^4+a^2+1}{a^2+a+1}=\dfrac{a^4-a+a^2+a+1}{a^2+a+1}\)

\(=\dfrac{a\left(a^3-1\right)}{a^2+a+1}+\dfrac{a^2+a+1}{a^2+a+1}\)

\(=\dfrac{a\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)}{a^2+a+1}+1\)

\(=a\left(a-1\right)+1=a^2-a+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\)

\(=\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}=\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=\dfrac{1}{4}\)