Question

Giải phương trình \(x+\sqrt{5+\sqrt{x-1}}=6\) ta được nghiệm dạng \(x=\dfrac{a-\sqrt{b}}{c}\) với a, b, c là các số nguyên tố. Tính P = a + b+ c

Answer 1

ĐKXĐ: \(x\ge1\)

\(x-1+\sqrt{5+\sqrt{x-1}}=5\)

Đặt \(\sqrt{x-1}=t\ge0\)

\(\Rightarrow t^2+\sqrt{t+5}=5\)

Đặt \(\sqrt{t+5}=u>0\Rightarrow u^2-t=5\)

\(\Rightarrow t^2+u=u^2-t\Leftrightarrow t^2-u^2+t+u=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t+u\right)\left(t-u+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow t-u+1=0\) (do \(t>0;u>0\Rightarrow t+u>0\))

\(\Leftrightarrow t+1=\sqrt{t+5}\)

\(\Leftrightarrow t^2+2t+1=t+5\Leftrightarrow t^2+t-4=0\)

\(\Rightarrow t=\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2}\)

\(\Rightarrow x=t^2+1=\dfrac{11-\sqrt{17}}{2}\)