Question

Tập nghiệm của bất phương trình \(\sqrt{\left(x+4\right)\left(6-x\right)}\le2\left(x+1\right)\)có dạng S = \([\frac{\sqrt{109}-a}{b};6]\). Tính P = 2a + 3b

Answer 1

ĐKXĐ: \(-4\le x\le6\)

Do \(\sqrt{\left(x+4\right)\left(6-x\right)}\ge0\Rightarrow2\left(x+1\right)\ge0\Rightarrow x\ge-1\)

Khi đó, bình phương 2 vế ta được:

\(\left(x+4\right)\left(6-x\right)\le4\left(x+1\right)^2\)

\(\Rightarrow-x^2+2x+24\le4x^2+8x+4\)

\(\Rightarrow5x^2+6x-20\ge0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le\frac{-3-\sqrt{109}}{5}\\x\ge\frac{-3+\sqrt{109}}{5}\end{matrix}\right.\)

Kết hợp điều kiện \(-4\le x\le6\) và \(-1\le x\) ta được: \(\frac{-3+\sqrt{109}}{5}\le x\le6\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2a+3b=21\)