Question

Giải phương trình nghiệm nguyên

\(a,4^x+5^x=9^x\)

b,\(2^x+2^y+2^z=512\)

Answer 1

a.4^x+5^x=9^x⇒\(\left(\dfrac{4}{9}\right)^x+\left(\dfrac{5}{9}\right)^x=1\)(chia cả hai vế cho 9^x

x=1 là nghiệm của phương trình

Xét x<1 thì (\(\left(\dfrac{4}{9}\right)^x+\left(\dfrac{5}{9}\right)^x\)<1 loại

tương tự xét x>1 cũng loại

b.2^x+2^y+2^z=512 (1)

Do vai trò của x, y, z như nhau giả sử x≤y≤z

chia cả 2 vế của (1) cho 2^x khác 0 được

1+2^y-x+2^z-x=2^9-x (2)

Do 2^9-x>1 nên 2^9-x là bội của 2. Mà x<z vì nếu x=z thì x=y=z khi đó

(2) trở thành 1+2⁰+2⁰ khác 2k với k nguyên,loại

⇒2^z-x là bội của 2 nên 1+2^y-x là bội của 2

⇒2^y-x=1 nên y=x

thay vào (2) được 1+1+2^z-x=2^9-x

⇔2+2^z-x=2^9-x

⇔2(1+2^z-x-1)=2^9-x⇔1+2^z-x-1=2^8-x

Do 2^8-x>1 nên 2^8-x là bội của 2

⇔2^z-x-1=1 và 2=2^8-x nên x=7 , y=7, z=8

Do x, y, z có vai trò như nhau nên (x,y,z)∈{(7;7;8);(7;8;7);(8;7;7)}

KL..........