\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x^2+1}{y}+x+y=4\\\left(x+y\right)^2-2.\frac{x^2+1}{y}=7\end{matrix}\right.\)
ĐKXĐ: \(y\ne0\)
Đặt \(\frac{x^2+1}{y}=a,x+y=b\)
Ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=4\\b^2-2a=7\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4-b\\b^2-2a=7\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4-b\\b^2-2\left(4-b\right)=7\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4-b\\b^2+2b-8=7\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4-b\left(1\right)\\b^2+2b-15=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Giải phương trình (2): \(b^2+2b-15=0\)
Ta có: \(\Delta'=1^2-1. \left(-15\right)=16\)
\(\sqrt{\Delta'}=\sqrt{16}=4\)
Vì \(\Delta'>0\Rightarrow\) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \(b_1=\frac{-1-4}{1}=-5\)
\(b_2=\frac{-1+4}{1}=3\)
Với b = -5 thay vào phương trình (1) ta có:
a = 4 - b = 4 - (-5) = 9
Với b = 3 thay vào phương trình (1) ta có:
a = 4 - b = 4 - 3 = 1
Khi đó:
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x^2+1}{y}=9\\x+y=-5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+1=9y\\x=-5-y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(-5-y\right)^2+1=9y\\x=-5-y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[-\left(y+5\right)\right]^2+1=9y\\x=-5-y\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y^2+10y+5+1=9y\\x=-5-y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y^2+y+6=0\left(3\right)\\x=-5-y\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(y^2+y+6=\left(y^2+2.y.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\frac{23}{4}\\ =\left(y+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{23}{4}\ge\frac{23}{4}>0\forall y\)
\(\Rightarrow\) Phương trình (3) không xảy ra.
\(\Rightarrow\) Không có giá trị nào của x, y thỏa mãn bài ra.
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x^2+1}{y}=1\\x+y=3\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+1=y\\x=3-y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(3-y\right)^2+1=y\\x=3-y\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}9-6y+y^2+1=y\\x=3-y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y^2-7y+10=0\left(4\right)\\x=3-y\left(5\right)\end{matrix}\right.\)
Giải phương trình (4): \(y^2-7y+10=0\)
Ta có: \(\Delta=\left(-7\right)^2-4.1.10=9\)
\(\sqrt{\Delta'}=\sqrt{9}=3\)
Vì \(\Delta'>0\Rightarrow\) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \(y_1=\frac{7-3}{2.1}=2\)
\(y_2=\frac{7+3}{2.1}=5\)
Với y = 2 thay vào phương trình (1) ta có:
x = 3 - y = 3 - 2 = 1
Với y = 5 thay vào phương trình (1) ta có:
x = 3 - y = 3 - 5 = -2
Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x;y) \(\in\) {(1;2),(-2;5)}
