Question

Giải hệ pt

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+3\right)\sqrt{x-1}-3\left(x-y-2\right)-\left(y+5\right)\sqrt{y+1}=0\\2\sqrt{y^2+4y+9}=2\sqrt{x-1}+x^2\end{matrix}\right.\)

Answer 1

Lời giải:

Đặt $\sqrt{x-1}=a; \sqrt{y+1}=b(a,b\geq 0)$

Khi đó PT (1) trở thành:
$(a^2+4)a-3(a^2-b^2)-(b^2+4)b=0$
$\Leftrightarrow (a^3-b^3)+(4a-4b)-3(a^2-b^2)=0$

$\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2+4-3a-3b)=0$

Xét $a^2+ab+b^2+4-3a-3b=(a+\frac{b}{2}-1,5)^2+\frac{3}{4}(b-1)^2+1>0$ với mọi $a,b\geq 0$ nên $a-b=0$

$\Rightarrow a=b$

$\Leftrightarrow x-1=y+1$

$\Leftrightarrow x=y+2$

Thay vào PT(2):

\(2\sqrt{x^2+5}=2\sqrt{x-1}+x^2\)

$\Leftrightarrow (x^2-4)+2(\sqrt{x-1}-1)+2(\sqrt{x^2+5}-3)=0$

\(\Leftrightarrow (x-2)\left[x+2+\frac{2}{\sqrt{x-1}+1}-\frac{2(x+2)}{\sqrt{x^2+5}+3}\right]=0\)

Do $x\geq 1$ nên \(\frac{2(x+2)}{\sqrt{x^2+5}+3}< x+2\)

Do đó biểu thức trong ngoặc vuông [ ] luôn dương

$\Rightarrow x-2=0$

$\Rightarrow x=2$ (tm)

Kéo theo $y=0$