Chương III - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Angela jolie

Giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x^3+xy^2=y^6+y^4\\2\sqrt{y^4+1}+\frac{1}{x^2+1}=3-4x^3\end{matrix}\right.\)

Akai Haruma
4 tháng 1 2020 lúc 21:03

Lời giải:

Từ PT $(1)$:

$\Rightarrow x(x^2+y^2)=y^6+y^4$

Nếu $x^2+y^2=0\Rightarrow x=y=0$ (thỏa mãn)

Nếu $x^2+y^2>0\Rightarrow x=\frac{y^6+y^4}{x^2+y^2}\geq 0$.

Cũng từ PT $(1)$:

\(\Leftrightarrow (x^3-y^6)+(xy^2-y^4)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y^2)(x^2+xy^2+y^4)+y^2(x-y^2)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y^2)(x^2+xy^2+y^4+y^2)=0\)

TH1: $x-y^2=0\Leftrightarrow x=y^2\Rightarrow x\geq 0$

Thay vào PT $(2)$ ta có:

\(2\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}+4x^3=3\)

Thấy rằng:

\(2\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}\geq 3\) theo BĐT AM-GM

\(4x^3\geq 0\) do $x\geq 0$

$\Rightarrow 2\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}+4x^3\geq 3$

Dấu "=" xảy ra khi $\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{x^2+1}$ và $x^3=0$ hay $x=0$

$\Rightarrow y^2=x=0\Rightarrow y=0$

Ta có cặp nghiệm $(x,y)=(0,0)$

TH2: $x^2+xy^2+y^4+y^2=0$

Vì $x\geq 0; y^2\geq 0$ nên $x^2+xy^2+y^4+y^2\geq 0$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y^2=0$ hay $x=y=0$.

Tóm lại hệ có nghiệm $x=y=0$

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thị Thanh Trúc
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết
Thái Viết Nam
Xem chi tiết
王一博
Xem chi tiết
illumina
Xem chi tiết
Trần Thanh Phương
Xem chi tiết
An Nhiên
Xem chi tiết
Ngô Thị Phương Anh
Xem chi tiết
Phạm Thị Vân Anh
Xem chi tiết