Question

Giả sử a,n\(\ge2\) là các số nguyên \(a^n+1\) là 1 số nguyên tố.Chứng minh rằng \(n=2^k\) với số nguyên dương k nào đó

 

Answer 1

Lời giải:
Giả sử $n$ có ước nguyên tố khác 2. Gọi ước đó là $p$ với $p$ lẻ.

Khi đó: $n=pt$ với $t$ nguyên dương bất kỳ.

$a^n+1=(a^t)^p+1\vdots a^t+1$

Mà $a^t+1\geq 3$ với mọi $a\geq 2; t\geq 1$ và $a^n+1> a^t+1$ nên $a^n+1$ là hợp số. Điều này vô lý theo giả thiết.

Vậy điều giả sử là sai, tức là $n$ không có ước nguyên tố lẻ nào cả. Vậy $n=2^k$ với $k\in\mathbb{N}$

Lấy $a=2; n=4$ ta có $a^n+1=17$ là snt. Vậy $n=2^k$ với $k$ nguyên dương.