Question

Giả sử a,b là 2 số dương khác nhau thỏa mãn \(a-b=\sqrt{1-b^2}-\sqrt{1-a^2}\)

CMR \(a^2+b^2=1\)

Answer 1

Ta thấy nếu \(\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}=0\Rightarrow a^2=b^2=1\)

\(\Rightarrow a-b=0\Rightarrow a=b\) (vô lí).

Do đó ta có:

\(GT\Leftrightarrow a-b=\frac{a^2-b^2}{\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}}\)

\(\Leftrightarrow a+b=\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}\)

Mà \(a-b=\sqrt{1-b^2}-\sqrt{1-a^2}\)

Nên \(2a=a+b+a-b=2\sqrt{1-b^2}\)

\(\Rightarrow a=\sqrt{1-b^2}\Rightarrow a^2+b^2=1\).