Sửa đề:
\(\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{x^2+3x+2}+\frac{1}{x^5+5x+6}+\frac{1}{x^2+7x+12}=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}+\frac{1}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}+\frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow x^2+4x-8=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+4x+4\right)-12=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2=12\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}x=2\sqrt{3}-2\\x=-2\sqrt{3}-2\end{matrix}\right.\)
Theo dãy trên mình nghi số hạng thứ 3
phải là: \(\frac{1}{x^2+5x+6}\) phù hợp ý tưởng người ra đề
\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}+\frac{1}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}+\frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}=\frac{1}{2}\)
Ta có: \(\frac{1}{a\left(a+1\right)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}\) áp vào từng số hạng VT rút gọn ta được
\(VT=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+4}=\frac{4}{x\left(x+4\right)}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x^2+4x+4=4.2+4=12\Rightarrow\left[\begin{matrix}x+2=\sqrt{12}\\x+2=-\sqrt{12}\end{matrix}\right.\)\(\left[\begin{matrix}x=-2-\sqrt{12}=-2\left(\sqrt{3}+1\right)\\x=-2+\sqrt{12}=2\left(\sqrt{3}-1\right)\end{matrix}\right.\)
