Question

Dùng phương pháp phản chứng, chứng minh rằng:

Với 0 < a, b, c < 1. Có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:

\(a\left(1-c\right)>\dfrac{1}{4},b\left(1-a\right)>\dfrac{1}{4},c\left(1-b\right)>\dfrac{1}{4}\)

Answer 1

Giả sử cả 3 bất đẳng thức đều đúng ta có

\(a.\left(1-c\right).b.\left(1-a\right).c.\left(1-b\right)>\dfrac{1}{64}\)

=>a.(1-a).b.(1-b).c.(1-c)>\(\dfrac{1}{64}\)

Mặt khác ta có a.(1-a)=a-a²=>-(a^2-a)=-(((a²-2.a\(\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\))-\(\dfrac{1}{4}\))

=>(a-\(\dfrac{1}{2}\))^{2\(\le\dfrac{1}{4}\)}

^{cm tương tự với b.(1-b) và c.(1-c) ta có \(a.\left(1-a\right).b.\left(1-b\right).c.\left(1-c\right)\le\dfrac{1}{64}\)} => trái với giả sử

=> Vậy có ít nhất 1 trong 3 bdt là sai ( với 0<a,b,c<1)