Ôn tập chương Hình trụ, Hình nón, Hình cầu

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Dùng đồng dư thức :

a) \(7.5^{2n}+12.6^n⋮19\)

b)\(1924^{2003^{2004^n}}+1920⋮124\)

c) \(5^{2n+1}+2^{n+4}+2^{n+1}⋮23\)

Akai Haruma
6 tháng 8 2017 lúc 22:00

Lời giải:

a)

Ta có \(A=7.5^{2n}+12.6^n=7.25^n+12.6^n\)

\(25\equiv 6\pmod {19}\Rightarrow 7.25^n\equiv 7.6^n\pmod {19}\)

Do đó \(A\equiv 7.6^n+12.6^n\equiv 19.6^n\equiv 0\pmod {19}\)

Ta có đpcm.

b) Đặt biểu thức là $B$ .

Dễ thấy \(1924,1920\vdots 4\Rightarrow B\vdots 4(1)\)

\(2003\equiv -7\pmod {30}\Rightarrow 2003^{2004^n}\equiv (-7)^{2004^n}\equiv 7^{2004^n}\pmod {30}\)

Mặt khác \(7^4\equiv 1\pmod {30}\) , \(2004^n\vdots 4\) nên \(7^{2004^n}\equiv 1\pmod {30}\)

Từ hai điều trên suy ra \(2003^{2004^n}\equiv 1\pmod {30}\) . Đặt \(2003^{2004^n}=30k+1\)

Khi đó \(1924^{2003^{2004^n}}+1920=1924^{30k+1}+1924\)

\(UCLN(1924,31)=1\) nên áp dụng định lý Fermat nhỏ:

\(1924^{30}\equiv 1\pmod {31}\Rightarrow 1924^{30k}\equiv 1\pmod{31}\)

\(\Rightarrow 1924^{30k+1}\equiv 1924\pmod {31}\Rightarrow 1924^{30k+1}+1920\equiv 1924+1920\equiv 3844\equiv 0\pmod{31}\)

Do đó \(B\vdots 31\) \((2)\)

Từ \((1),(2)\)\((31,4)=1\Rightarrow B\vdots (31.4=124)\)

Akai Haruma
6 tháng 8 2017 lúc 22:06

c)

\(5^{2n+1}+2^{n+4}+2^{n+1}=5^{2n+1}+2^{n+1}(2^3+1)\)

\(=5^{2n+1}+18.2^n=5.25^n+18.2^n\)

\(\equiv 5.2^{n}+18.2^n\pmod {23}\)

\(\Leftrightarrow 5^{2n+1}+2^{n+4}+2^{n+1}\equiv 23.2^n\equiv 0\pmod {23}\)

Ta có đpcm.


Các câu hỏi tương tự
Xem chi tiết
Đinh Thị Ngọc Minh
Xem chi tiết
Nguyễn Thúy Hường
Xem chi tiết
Nấm Chanel
Xem chi tiết
Hứa Nữ Nhâm Ngọc
Xem chi tiết
Xem chi tiết
ank viet
Xem chi tiết
Nghiêm Phương Linh
Xem chi tiết
Nguyễn Thùy Dương
Xem chi tiết