Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Quoc Tran Anh Le

[CUỘC THI TRÍ TUỆ VICE]

Trang fanpage của cuộc thi đã có hơn 1,4k like đó, bạn đã like để nhận tin mới nhất chưa?

Facebook: Cuộc thi Trí tuệ VICE | Facebook

Muốn đề xuất câu hỏi? Các bạn hãy hỏi trực tiếp trên hoc24 nha :>

Trả lời ngay những câu hỏi dưới đây tích cực để có cơ hội nhận giải thưởng lên đến 500.000đ nhé!

-------------------------------------

[Toán.C262-265 _ 2.3.2021]

undefinedundefinedundefinedundefined

Justasecond
2 tháng 3 2021 lúc 19:47

2.

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\ge16\Rightarrow a+b\ge4\)

\(\dfrac{a^2+b^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2\left(a+b\right)}=\dfrac{a+b}{2}\)

Nên ta chỉ cần chứng minh: \(\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{6}{a+b-1}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+b-1\right)-12\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-4\right)\left(a+b+3\right)\ge0\) (luôn đúng với mọi \(a+b\ge4\))

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2\)

Justasecond
2 tháng 3 2021 lúc 19:50

Câu cuối:

Ta chứng minh BĐT phụ sau: với mọi x;y;z dương, ta luôn có: \(\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\ge\dfrac{x+y}{2}\)

Thật vậy, bất đẳng thức tương đương:

\(2\left(x^3+y^3\right)\ge\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (đúng)

Áp dụng:

\(P\ge\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{b+c}{2}+\dfrac{c+a}{2}=a+b+c\ge6\)

\(P_{min}=6\) khi \(a=b=c=2\)

Trần Minh Hoàng
2 tháng 3 2021 lúc 20:09

7:

a) Đặt \(\left(x,y\right)=\left(\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b}\right)\).

Ta có \(x+y=2\).

BĐT cần chứng minh trở thành:

\(\dfrac{x}{2+x^2}+\dfrac{y}{2+y^2}\le\dfrac{2}{3}\).

Ta có \(\dfrac{x}{2+x^2}+\dfrac{y}{2+y^2}=\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2}-\left[\dfrac{x^3}{2\left(2+x^2\right)}+\dfrac{y^3}{2\left(2+y^2\right)}\right]=1-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{x^3}{2+x^2}+\dfrac{y^3}{2+y^2}\right]\).

Mặt khác ta có \(\dfrac{x^3}{2+x^2}-\left(\dfrac{7}{9}x-\dfrac{4}{9}\right)=\dfrac{2\left(x-1\right)^2\left(x+4\right)}{9\left(x^2+2\right)}\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^3}{2+x^2}\ge\dfrac{7}{9}x-\dfrac{4}{9}\).

Tương tự, \(\dfrac{y^3}{2+y^2}\ge\dfrac{7}{9}y-\dfrac{4}{9}\).

Do đó \(\dfrac{x^3}{2+x^2}+\dfrac{y^3}{2+y^2}\ge\dfrac{7}{9}\left(x+y\right)-\dfrac{8}{9}=\dfrac{2}{3}\).

\(\Rightarrow\dfrac{x}{2+x^2}+\dfrac{y}{2+y^2}=1-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{x^3}{2+x^2}+\dfrac{y^3}{2+y^2}\right]\le\dfrac{2}{3}\).

BĐT dc cm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1.

 

 

 

Trần Minh Hoàng
2 tháng 3 2021 lúc 21:44

5:BĐT cần chứng minh tương đương: \(3abc\le ab^2+bc^2+ca^2\) (luôn đúng theo AM - GM).

Nguyễn Trọng Chiến
3 tháng 3 2021 lúc 13:07

Ta cần chứng minh: \(\dfrac{a}{2a+b}+\dfrac{b}{2b+c}+\dfrac{c}{2c+a}\le1\)

\(\Rightarrow a\left(2b+c\right)\left(2c+a\right)+b\left(2a+b\right)\left(2c+a\right)+c\left(2a+b\right)\left(2b+c\right)\le\left(2a+b\right)\left(2b+c\right)\left(2c+a\right)\)\(\Leftrightarrow4abc+2a^2b+2ac^2+a^2c+4abc+2a^2b+2b^2c+ab^2+4abc+2ac^2+2b^2c+bc^2\le9abc+4a^2b+4ac^2+2a^2c+4b^2c+2ab^2+2bc^2\)\(\Leftrightarrow12abc+4a^2b+ab^2+a^2c+4ac^2+4b^2c+bc^2\le9abc+4a^2b+4ac^2+2a^2c+4b^2c+2ab^2+2bc^2\)

\(\Leftrightarrow a^2c+ab^2+bc^2\ge3abc\) 

Áp dụng bđt Cô-si : \(a^2c+ab^2+bc^2\ge3\sqrt[3]{a^2c\cdot ab^2\cdot bc^2}=3abc\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{2a+b}+\dfrac{b}{2b+c}+\dfrac{c}{2c+a}\le1\)

Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)


Các câu hỏi tương tự
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Ngố ngây ngô
Xem chi tiết
Ngố ngây ngô
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết