Lời giải:
Để \(x^2+x+1\vdots 2015\) thì $x^2+x+1$ phải chia hết cho $5$
Ta có:
\(x^2+x+1\vdots 5\)
\(\Leftrightarrow 4x^2+4x+4\vdots 5\)
\(\Leftrightarrow (2x+1)^2+3\vdots 5\)
Ta có nhận xét : Một số chính phương \(a^2\)chia cho $5$ có thể dư \(0,1,4\)
Thật vậy:
\(a\equiv 0\pmod 5\Rightarrow a^2\equiv 0\pmod 5\)
\(a\equiv 1\pmod 5\Rightarrow a^2\equiv 1^2\equiv 1\pmod 5\)
\(a\equiv 2\pmod 5\Rightarrow a^2\equiv 2^2\equiv 4\pmod 5\)
\(a\equiv 3\pmod 5\Rightarrow a^2\equiv 3^2\equiv 4\pmod 5\)
\(a\equiv 4\pmod 5\Rightarrow a^2\equiv 4^2\equiv 1\pmod 5\)
Do đó ta có đpcm.
Như vậy, \((2x+1)^2\) chia $5$ có thể dư $0,1,4$, kéo theo \((2x+1)^2+3\) chia $5$ có thể dư $3, 4,2$, tức là \((2x+1)^2+3\not\vdots 5\)
Do đó, cũng không thể tồn tại $x\in\mathbb{N}$ sao cho \(x^2+x+1\vdots 2015\)
