Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hoàng Thị Minh Phương

cmr: Với a, b, c > 0 chứng minh rằng 4/a + 5/b + 3/c ≥ 4(3/(a + b) + 2/(b + c) + 1/(c + a))

Nhã Doanh
17 tháng 7 2018 lúc 9:39

Ta có:

\(\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}\ge\dfrac{12}{a+b}\) (1)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3a\left(a+b\right)+3b\left(a+b\right)-12ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3a^2+3ab+3ab+3b^2-12ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3a^2+3b^2-6ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\) ( luôn đúng)

Tương tự ta có:

\(\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\ge\dfrac{8}{b+c}\) (2)

\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\) (3)

Cộng vế (1) (2)(3) ta được:

\(\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{12}{a+b}+\dfrac{8}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{a}+\dfrac{5}{b}+\dfrac{3}{c}\ge4\left(\dfrac{3}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\)


Các câu hỏi tương tự
Thành Trương
Xem chi tiết
DRACULA
Xem chi tiết
haiz aneu
Xem chi tiết
Trần Thanh Phương
Xem chi tiết
Thành Trương
Xem chi tiết
Toankhowatroi
Xem chi tiết
khoimzx
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
Lê Đình Quân
Xem chi tiết