Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trần Thanh Phương

Bài 1: Cho \(a,b,c>0\)thỏa \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:

\(\sqrt[3]{a+2b}+\sqrt[3]{b+2c}+\sqrt[3]{c+2a}\le3\sqrt[3]{3}\)

Bài 2: Cho \(a,b,c\in\left[-2;2\right]\)\(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:

\(\sqrt{4-a^2}+\sqrt{4-b^2}+\sqrt{4-c^2}\le3\sqrt{3}\)

Bài 3: Cho \(a,b,c>0\)

a) Có \(ab+bc+ac=3\). CMR: \(a^3+b^3+c^3\ge3\)

b) Có \(a^3+b^3+c^3=3\). CMR: \(a^5+b^5+c^5\ge3\)

c) Có \(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=3\). CMR: \(a^7+b^7+c^7\ge3\)

Bài 4: Cho \(a,b,c,m,n>0\). CMR:

\(a^{m+n}+b^{m+n}+c^{m+n}\ge a^m\cdot b^n+b^m\cdot c^n+c^m\cdot a^n\)

Bài 5: Cho \(a,b,c>0\)thỏa \(a+b+c=3\)

Tìm min\(A=4a^2+6b^2+3c^2\)

Bài 6: Cho \(a,b>0\)\(a+b\le1\)

a) Tìm min\(A=\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\)

b) Tìm min\(A=\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{1}{a^2b}+\frac{1}{ab^2}\)

P/s: 2 bạn giúp mình với [Akai Haruma Nguyễn Việt Lâm]

tthnew
11 tháng 7 2019 lúc 19:07

Bài 3:(dài quá,đăng từ câu):

a)Từ giả thiết suy ra \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge3\Rightarrow a+b+c\ge3\)

BĐT \(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)\)

\(VT\ge3\left(a^3+b^3+c^3\right)\). Do đó ta chứng minh một BĐT chặt hơn là:

\(3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)+3abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)+2\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left[ab\left(a+b\right)+bc\left(c+b\right)+ca\left(c+a\right)\right]\) (*)

Để ý rằng theo Cô si: \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\) (1) và

\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left[ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\right]\ge0\) (2)

Do \(a^3+b^3-ab\left(a+b\right)=\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Rightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\). Tương tự với hai BĐT còn lại suy ra (2) đúng (3)

Từ (1) và (2) và (3) suy ra (*) đúng hay ta có đpcm.

tthnew
11 tháng 7 2019 lúc 19:12

Bài ngắn làm trước:

Bài 5: Dự đoán xảy ra đẳng thức khi a=1; b=2/3; c=4/3. Ta biến đổi như sau:

\(A=\left(4a^2+4\right)+\left(6b^2+\frac{8}{3}\right)+\left(3c^2+\frac{16}{3}\right)-12\)

\(\ge2\sqrt{4a^2.4}+2\sqrt{6b^2.\frac{8}{3}}+2\sqrt{3c^2.\frac{16}{3}}-12\)

\(=8\left(a+b+c\right)-12=8.3-12=12\)

Dấu "=" xảy ra khi ....

Bài này dùng wolfram alpha cho lẹ, đi thi không dùng được thì em dùng "cân bằng hệ số"

tthnew
11 tháng 7 2019 lúc 19:20

Bài 2: Ối giờ ôi, không ngờ điểm rơi lại xảy ra "đẹp" như vậy! a = b = c = 1

TXĐ....

Áp dụng BĐT Cô si ngược:

\(\sqrt{3}.VT=\sqrt{3\left(4-a^2\right)}+\sqrt{3\left(4-b^2\right)}+\sqrt{3\left(4-c^2\right)}\)

\(\le\frac{7-a^2}{2}+\frac{7-b^2}{2}+\frac{7-c^2}{2}=\frac{21}{2}-\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}\)

\(\le\frac{21}{2}-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{6}=\frac{21}{2}-\frac{3}{2}=9\)

Suy ra đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c=1

tthnew
11 tháng 7 2019 lúc 19:23

Lại một bài có đẳng thức đẹp:D

Bài 1:

\(\sqrt[3]{9}VT=\sqrt[3]{3.3.\left(a+b+b\right)}+\sqrt[3]{3.3\left(b+c+c\right)}+\sqrt[3]{3.3.\left(c+a+a\right)}\)

\(\le\frac{3+3+a+b+b}{3}+\frac{3+3+b+c+c}{3}+\frac{3+3+c+a+a}{3}\)

\(=6+\left(a+b+c\right)=9\)

Suy ra đpcm.

ĐẲng thức xảy ra khi a = b =c =1

tthnew
11 tháng 7 2019 lúc 19:33

Bài 6:

a) \(A=\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{1}{6ab}+\frac{1}{3ab}\)

\(\ge\frac{4}{1+\left(a+b\right)^2+4ab}+\frac{1}{\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2}\)

\(\ge\frac{4}{1+2\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{3\left(a+b\right)^2}\ge\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}\)

Giải dấu "=" ra được a = b = 1/2

b)Để sau

tthnew
11 tháng 7 2019 lúc 19:43

Bài 3:

b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel \(VT=\frac{a^6}{a}+\frac{b^6}{b}+\frac{c^6}{c}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}\)

Mặt khác từ giả thiết ta có \(9=\left(a^3+1+1\right)+\left(b^3+1+1\right)+\left(c^3+1+1\right)\ge3\left(a+b+c\right)\Rightarrow a+b+c\le3\) thay vào suy ra đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1


Các câu hỏi tương tự
trung le quang
Xem chi tiết
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
Nguyễn Phương Oanh
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
Lê Đình Quân
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
Niii
Xem chi tiết
Khánh Ngọc
Xem chi tiết