Question

cmr trong tam giác vuông tại a R\(\ge\) (\(\sqrt{2}\)+1)r

Answer 1

Lời giải:

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ thì $R=\frac{a}{2}$

Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với :

\(\frac{a}{2}\geq (\sqrt{2}+1)\frac{S}{p}\Leftrightarrow a(a+b+c)\geq 2(\sqrt{2}+1)bc\) $(\star)$

Theo hệ thức Pitago thì \(b^2+c^2=a^2\)

Suy ra \((\star)\Leftrightarrow \sqrt{b^2+c^2}(\sqrt{b^2+c^2}+b+c)\geq 2(\sqrt{2}+1)bc\)

Điều này luôn đúng vì theo bất đẳng thức AM-GM thì:

\(b^2+c^2\geq 2bc\)

Và \(\sqrt{b^2+c^2}(b+c)\geq \frac{(b+c)^2}{\sqrt{2}}\geq \frac{4bc}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}bc\)

Do đó ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi $b=c$ tức là tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$