Question

Cmr: Nếu mỗi số m và n là tổng của hai số chính phương thì tích của mn cũng là tổng của hai số chính phương.

Answer 1

Do m và n là tổng của 2 số chính phương nên ta đặt

\(m=a^2+b^2;n=c^2+d^2\)

\(\Rightarrow mn=\left(a^2+b^2\right).\left(c^2+d^2\right)=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\)

\(=\left(ac\right)^2+\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(bd\right)^2\)

\(=\left(ac\right)^2+\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(bd\right)^2+2.ac.bd-2.ac.bd\)

\(=\left[\left(ac\right)^2+2.ac.bd+\left(bd\right)^2\right]+\left[\left(ad\right)^2-2.ad.bc+\left(bc\right)^2\right]\)

\(=\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)

Vậy nếu mỗi số m và n là tổng của 2 số chính phương thì tích mn cũng là tổng của 2 số chính phương