Cho tam giác ABC có góc B = 90 độ, BH là đường cao. Gọi M trung điểm HC, G là trực tâm của tam giác ABM. Kẻ Ax // BC, trên đường đó lấy P có AP = 1/2 BC và nằm ở nửa mặt phẳng đối của nửa mặt phẳng chứa B có bờ AC.
a/ Hỏi AGMP là hình gì?
b/Chứng minh tam giác AGM đồng dạng với tam giác MPA
c/ Chứng minh PM _|_ BM
*) Do \(MG\perp AB;BC\perp AB\Rightarrow GM\)//\(BC\).
Ta có: \(GM\)//\(BC\) và \(HM=MC\Rightarrow GH=GB\)
Trong \(\Delta HBC\) có: \(HG=GB;HM=MC\Rightarrow GM\) là đường trung bình của \(\Delta HBC\)
\(\Rightarrow GM=\dfrac{1}{2}BC\).
Ta có: \(GM=\dfrac{1}{2}BC;AD=\dfrac{1}{2}BC\Rightarrow GM=AD\) và \(AD\)//\(GM\)(do cùng song song với \(BC\))
\(\Rightarrow\) tứ giác ADMG là hình bình hành.
b)
Do tứ giác ADMG là hình bình hành => AG//DM\(\Rightarrow\widehat{GAM}=\widehat{DMA}\) và \(\widehat{DAM}=\widehat{GMA}\)
\(\Rightarrow\Delta GAM\)~\(\Delta DMA\left(g.g\right)\)
c)
Do tứ giác ADMG là hình bình hành \(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{M_1}\).
Ta lại có: \(\widehat{A_2}=\widehat{M_2}\)(do cùng phụ với góc \(B_1\))
\(\Rightarrow\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=\widehat{M_1}+\widehat{M_2}=90^o\) ( Do \(AD\)//\(BC\) mà \(BC\perp AB\)\(\Rightarrow AD\perp AB\))
Vậy \(PM\perp BM\)
